DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: 

 

 

VIDEO: CÓMO CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

 

 

 

 

RELACIONES Y FUNCIONES

GEOMETRÍA ANALÍTICA:

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano, tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación indeterminada, polinomio, o función determinar en un sistema de coordenadas la gráfica o curva algebraica de los puntos que verifican dicha ecuación.

Variable independiente

Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende de otra variable. La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

Es aquella característica o propiedad que se supone ser la causa del fenómeno estudiado. En investigación experimental se llama así a la variable que el investigador manipula.

     Variable dependiente.

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. La variable dependiente en una función se suele representar por y. La variable dependiente se representa en el eje ordenadas. Son las variables de respuesta que se observan en el estudio y que podrían estar influidas por los valores de las variables independientes.

La variable dependiente es el factor que es observado y medido para determinar el efecto de la variable independiente.

RELACIONES Y FUNCIONES

En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

Una función  se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios.

Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s² recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos.

 

 

VIDEO RELACIONES Y FUNCIONES

 

EL PLANO CARTESIANO.  

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:   P (x, y)

          EJEMPLO 1:  Localizar el punto   P(3,5)

 Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

EJEMPLO 2:

Doña Lupe  nos ha dicho que su farmacia  está dentro del centro de la ciudad . Supongamos que deseamos saber la ubicación  exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez  que ya estamos  en  el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar  las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera:

 

Para el problema planteado , el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia.


VIDEO CÓMO ENCONTRAR PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COMPETENCIAS GENÉRICAS Y DISCLIPLINARES

   MARCO CURRICULAR COMÚN

              Competencias genéricas:

                 Se expresa y comunica 

        4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante
        la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  

       (Traducción de problemas  del  lenguaje común al lenguaje algebraico,
       es decir problemas prácticos se convierten en modelos matemáticos).

 

                Piensa crítica y reflexivamente 

          5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de              

           Métodos establecidos. (Cálculos de las ecuaciones o lugares geométricos)

                   

             Competencias disciplinares:

·         Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. (problemas de funciones).

·         Construye e interpreta modelos matemáticos  mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos  y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas y formales. (ecuaciones de lugares geométricos).

·         Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. (interpretación de gráficas de funciones, lugares geométricos).

·         Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. (problemas de aplicación).·         Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques (solución de problemas de ecuación ordinaria y general).·         Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. (problemas de aplicación).

PROGRAMA DEL MÓDULO

PROGRAMA DEL MÓDULO  “REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES”

 

UNIDAD 1 

Representación gráfica de lugares geométricos.

Resultado de aprendizaje:

1.1 Representa gráficamente espacios geométricos poligonales, considera los principios, leyes y procedimientos gráficos, aplicables a la solución de situaciones de la vida cotidiana.


Contenido:

A. Empleo de relaciones y funciones.

Variables dependientes e independientes
Relaciones
Funciones

B. Identificación de los fundamentos de la geometría analítica.

Segmento dirigido.
Distancia entre dos puntos
Perímetro de polígonos
Área de polígonos
División de un segmento en una razón dada
Punto medio.

Resultado de aprendizaje: 

  1.2 Construir la ecuación de la recta y su representación gráfica a partir de los elementos que la integran.


Contenido

A. Análisis de la pendiente de una recta.

Definición.
Ángulo entre rectas.
Paralelismo y Perpendicularidad.
Familia de rectas.
Problemas de aplicación.

B. Representación matemática y graficación de la recta.

Ecuación punto- pendiente
Ecuación punto-punto
Ecuación pendiente-ordenada al origen
Ecuación simétrica
Ecuación general de la recta.
Problemas de aplicación.


UNIDAD 2

Representación gráfica y uso de curvas canónicas.

 Resultado de aprendizaje:

2.1 Representa gráficamente la circunferencia, mediante su ecuación o elementos que la integran.

 Contenido:

A. Representación gráfica y elementos de la circunferencia.

La circunferencia como lugar geométrico

Elementos de la circunferencia.

Centro
Radio
Diámetro
Cuerda
Secante
Tangente
Arco
 

B. Representación matemática de la circunferencia.

Ecuación ordinaria de la circunferencia.
Ecuación general de la circunferencia.


C. Obtención de ecuaciones de la circunferencia.

Valoración de condiciones y datos.
Formas de obtención de la ecuación de la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia dados tres puntos.
D. Solución de problemas cotidianos, empleando la circunferencia.
Familia de circunferencias.
Problemas de aplicación.

 Resultado de aprendizaje:

 2.2 Representa gráficamente la parábola, mediante su ecuación o elementos que la integran


Contenido:

A. Representación gráfica y elementos de la parábola.

La parábola como lugar geométrico.

Elementos de la parábola.
Foco
Directriz
Radio vector
Parámetro
Eje de la parábola
Vértice
Lado Recto
Tipos de parábola
Vertical con vértice en el origen y fuera del origen.
Horizontal con vértice en el origen y fuera del origen.

B. Representación matemática de la parábola.

Ecuación ordinaria o canónica de la parábola.
Ecuación general de la parábola.
Ecuación reducida.

C. Obtención de ecuaciones de la parábola.

Valoración de condiciones y datos.
Ecuación de la parábola dados 3 puntos
D. Solución de problemas cotidianos, empleando la circunferencia.
Familia de parábolas.
Problemas de aplicación.

 Resultado de aprendizaje: 

2.3 Representa gráficamente la elipse, mediante su ecuación o elementos que la integran.


Contenido:

A. Representación gráfica de la elipse.

La elipse como lugar geométrico

Elementos de la elipse.
Radio vectores.
Eje focal.
Eje secundario.
Centro.
Distancia focal.
Vértices.
Eje mayor.
Eje menor
Excentricidad.
Tipos de elipse
Vertical con centro en el origen y fuera del origen.
Horizontal con centro en el origen y fuera del origen.

B. Representación matemática de la elipse.

Ecuación ordinaria de la elipse.
Ecuación general de la elipse.
Ecuación reducida de la elipse.

C. Obtención de ecuaciones de la elipse.

Valoración de condiciones y datos
Ecuación de la elipse dados tres puntos.
D. Solución de problemas cotidianos, empleando la elipse.
Familia de elipses.
Problemas de aplicación.

UNIDAD 3

Representación gráfica de derivadas.

 Resultado de aprendizaje:

 3.1 Representa gráficamente funciones, límites y continuidad mediante su ecuación o elementos que la integran.

Contenido:

A. Identificación de la naturaleza de las funciones.

Funciones algebraicas.

Dominio
Contradominio
Tabulación.
Graficación.
Funciones racionales.
Dominio
Contradominio
Tabulación.
Graficación.

B. Cálculo de límites de funciones.

Límites de una función.
Definición de límites.
Interpretación geométrica.
Límites por la izquierda y por la derecha.
Suma de límites.
Diferencia.
De una constante.
Una constante multiplicada por una función.
De un producto.
De un cociente.
De una potencia.
C. Continuidad y límites de una función
Continuidad de una función.
Funciones continuas y discontinuas.
Continuidad de una función en un punto.
Continuidad de una función en un intervalo.

Resultado de aprendizaje: 

 3.2 Representa gráficamente la derivada como un proceso de límite empleando fórmulas de derivación.

 Contenido:
A. Manejo de la derivada.
Definición.
Interpretación física y geométrica de la derivada
Cálculo de la derivada a partir de la definición.
B. Aplicación de teoremas de derivación.
Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones.
Derivada de una función a una potencia.
Solución de problemas básicos con derivadas.

 

 

 

BIENVENIDA

BIENVENIDOS

ALUMNOS DE TERCER SEMESTRE 

AL MÓDULO:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

PROFESORES:

LORENA APARICIO JACINTO

LEOPOLDO BAUTISTA RAMIREZ